重读法学：逻辑学（五）谓词逻辑

命题逻辑与词项逻辑的局限性

命题逻辑刻画复合命题的逻辑性质及其推理关系，词项逻辑刻画直言命题的逻辑性质及其推理关系。但都有其自己的局限性——

1.它们都不能处理关系命题及其推理。
2.它们都不能处理量词内部含联结词结构的命题及其推理。

谓词逻辑是什么？

谓词逻辑将命题拆分为个体词、谓词、量词，有时候还要加上联结词。

个体词包括个体变项和个体常项。个体变项使用小写字母x、y、z……，表示某个特定的范围内的某个不确定的对像。个体常项使用小写字母a、b、c……，他们表示某个特定范围内的某个确定的对像。而「某个特定范围」，其实指的是「论域」，即由一定对像所组成的类或集合。论域规定了个体变项的取值范围，因此也叫个体变项的「值域」。

谓词符号使用大写字母F、G、R……，经过解释之后，表示论域中个体的性质和个体之间的关系。表现形式有F(x)、G(x,y)、S(x,a,y)……这些称作「原子公式」。

量词包括全称量词 和 存在量词（符号找不到）。

全称量词是指：「对于所有x，x是F」。

存在量词是指：「存在x使得x是F」。

量词逻辑的公式是什么？

1.一个谓词符号F，后面跟着有写一对括号内的、用逗号隔开的、适当数目的个体变项x，y，z或个体变项a，b，c等，是原子公式。
2.如果A是共识，则¬A是公式。
3.如果A和B都是公式，则AΛB，AVB，A→B，A↔B是公式。
4.如果A是公式，则「全称量词」xA，「存在量词」xA是公式。
5.只有按以上方式形成的符号串是公式。

量词有其管辖的范围，称为「辖域」。一个量词后面最短的公式就是该量词的辖域。

自然语言中量化命题的符号化（关于这部分，由于符号打不出来，就不记录公式了）

一、全称的直言命题符号化为一个全称蕴涵式。

SAP：「对于任一x而言，如果x是S，则x是P」。

SEP：「对于任一x而言，如果x是S，则x不是P」。

二、特称直言命题符号化为存在合取式。

SIP：「存在着这样的x，使得x是S并且x是P」。

SOP：「存在着这样的x，使得x是S但不是P」。

三、单称的直言命题符号化为原子公式。

谓词逻辑的模型与赋值

谓词逻辑的符号与公式，需要通过模型与复制来赋予它们意义和真假。

谓词逻辑语言的一个逻辑U，包括——

1.一个个体域D，即由具有一定个体所构成的集合。当给定个体域之后，全称量词?x表示个体域中的所有个体，存在量词?x表示个体域中的某些个体。也就是说，全称量词、存在量词和约束个体变项的意义都确定了。
2.个体常项在个体域D中的值，即个体常项表示个体域中的某个特定个体。
3.谓词符号在个体域D上的解释，即表示个体域中个体的性质和个体之间的关系。

谓词逻辑的有效式（符号打不出来，标记一下）

二元关系包含了怎样的关系？

二元关系中的逻辑性质，包含了关系的自返性、对称性和传递性。

一关系 R 是自返的，当且仅当，对任一 x 而言，x与它自身有 R 关系，即 R(x,y) 成立。

一关系 R 是对称的，当且仅当，对任一 x 和 y 而言，如果 R(x,y)，则 R(y,x)。

一关系 R 是传递的，当且仅当，对任一 x、y 和 z 而言，如果 R(x,y) 并且 R(y,z) ，则 R(x,z)。

如果根据一个关系，能够在对像之间排出某种次序来，每个对像在这种次序中有一个唯一确定的位置，这样的关系叫做「偏序关系」，它必定满足于非自返性、非对称性和传递性。

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